平方根と連分数の不思議な関係

美しい連分数を探しててふと気付いた

二次無理数(整数係数二次方程式の根である無理数)の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
ということなので、ある数の平方根ってのは必ず循環する正則連分数に展開できるよね。

で、テキトーな数字の平方根を WolframAlphaで連分数展開してたんですが、
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A226 みたいな形でできます)

n n^2 sqr(n^2+1) sqr(n^2+2)
2 4 sqr(5) =[2;4] sqr(6) =[2;2,4]
3 9 sqr(10) =[3;6] sqr(11) =[3;3,6]
4 16 sqr(17) =[4;8] sqr(18) =[4;4,8]
5 25 sqr(26) =[5;10] sqr(27) =[5;5,10]
6 36 sqr(37) =[6;12] sqr(38) =[6;6,12]
7 49 sqr(50) =[7;14] sqr(51) =[7;7,14]
8 64 sqr(65) =[8;16] sqr(66) =[8;8,16]
9 81 sqr(82) =[9;18] sqr(83) =[9;9,18]
10 100 sqr(101) =[10;20] sqr(102) =[10;10,20]
11 121 sqr(122) =[11;22] sqr(123) =[11;11,22]
12 144 sqr(145) =[12;24] sqr(146) =[12;12,24]
13 169 sqr(170) =[13;26] sqr(171) =[13;13,26]

[ xx; yy ] は yy 部分が循環。
[ xx; yy, zz ] は、yy, zz が循環。
nが15まで確認したのですが成立してる。
sqr(n^2+3) とか sqr(n^2+4) はこんな綺麗な形じゃなくて、
もうちょっと不規則なのの循環になってる。
どーゆー理由でこうなるのか、誰か教えてください。

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